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Studio completo di funzioni

Cosa vuol dire studiare una funzione
Lo studio di una funzione generica in genere si effettua al fine di disegnare qualitativamente l’andamento grafico della stessa, cercando tuttavia di creare un grafico che sia il più possibile preciso e corrispondente al grafico reale della funzione. Studiare una funzione può tuttavia voler dire venire a conoscenza di caratteristiche peculiari di una funzione che possono rivelarsi fondamentali nella risoluzione di problemi più ampi. Ad esempio, nello studio di modelli sulla crescita della popolazione di una nazione, conoscere qualitativamente l’andamento della curva di crescita può far capire se a “lungo andare” quella certa popolazione crescerà, diminuirà o rimarrà più o meno la stessa; in questo caso in specifico, una analisi più attenta potrebbe permettere una stima temporale abbastanza accurata.

I passi fondamentali per lo studio di una funzione
In genere lo studio si compone di più parti; un elenco più o meno completo è riportato nel seguito, ma in genere non tutti i passi sono necessari: alcuni non sono applicabili per la natura intrinseca della funzione da studiare, altri possono essere saltati perchè fornirebbero indicazioni che magari sono state già ricavate eseguendo altri passi. Anche l’ordine di esecuzione in genere non è rigido, anche se alcuni passi è bene farli prima di altri; anche qui, l’ordine dipende dal tipo di funzione che si sta studiando ma anche da un minimo di esperienza.

determinazione del campo di esistenza
determinazione di simmetrie o periodicità
intersezione con gli assi
valori agli estremi del campo di esistenza
positività e negatività
determinazione degli asintoti
crescenza e decrescenza
determinazione dei massimi/minimi e dei flessi
determinazione della concavità e dei flessi obliqui
graficazione

Il campo di esistenza
Alcune funzioni non sono definite per valori particolari dell’asse reale. Ad esempio si sa che non è mai possibile dividere un numero per 0: quindi una funzione fratta come

non è definita laddove il valore di x annulla il denominatore. In effetti, il grafico di questa funzione è

Come si può vedere la funzione non è definita in x = -3 e difatti questo valore annullerebbe il denominatore. Nello studio del campo di esistenza occorre tenere conto del tipo di funzione:

funzione fratta: non è definita per tutti i valori di x che annullano il denominatore (D); in questo caso basta studiare l’equazione D = 0: tutte le soluzioni di questa equazione sono punti in cui la funzione non è definita.
funzione sotto radice: se la radice è di indice dispari la funzione è definita su tutto l’insieme dei reali; altrimenti è necessario imporre che la parte sotto radice sia maggiore o uguale a 0; i punti per cui ciò non è verificato sono punti in cui la funzione non è definita.
funzione logaritmica: l’argomento (A) del logaritmo deve essere strettamente maggiore di 0; le soluzioni della disequazione A ≤ 0 sono punti in cui la funzione non è definita.
funzioni trigonometriche: ad esclusione di seno e coseno, la maggior parte delle funzioni trigonometriche non sono definite per determinati multipli di π e .

In tutti gli altri casi il dominio di definizione è tutto l’asse reale.

Determinazione di simmetrie o periodicità
Alcune funzioni sono simmetriche rispetto all’asse delle ascisse o all’origine, altre funzioni sono periodiche. Ad esempio la funzione

ha un grafico simmetrico rispetto all’asse delle ascisse.

La funzione

ha invece un grafico simmetrico rispetto all’origine

Le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche

Conoscere in anticipo che una funzione è simmetrica rispetto all’asse delle ascisse permette di concentrarsi sullo studio di mezzo grafico (o solo a destra o solo a sinistra dell’asse); sapere in anticipo che una funzione è simmetrica rispetto all’origine permette di concetrare lo studio su una sola porzione di piano (ad esempio il I quadrante); infine, conoscere che una funzione è periodica permette di studiare il grafico solo per un particolare intervallo dell’asse x. Ad esempio è possibile studiare il grafico del seno solo fra 0 e 2π perchè il resto è un’esatta replica dell’andamento della funzione in tale intervallo.
Una funzione è pari (simmetrica rispetto all’asse delle ascisse) se risulta
in cui è definita la funzione f(x).
Una funzione è dispari (simmetrica rispetto all’origine) se risulta
in cui è definita la funzione f(x).
Una funzione è periodica di periodo T se risulta
in cui è definita la funzione f(x) e T ≠ 0

Intersezione con gli assi
Questa fase consiste nel trovare le coordinare esatte dei punti in cui la funzione in esame incontra gli assi x ed y. Ad esempio la funzione y = x + 3 incontra l’asse y nel punto (0,3) e l’asse x nel punto (-3,0).

Per trovare questi punti occorre risolvere i due sistemi:

In alternativa, per studiare l’intersezione con l’asse delle x, basta risolvere l’equazione f(x) = 0. L’equazione potrebbe:

non avere soluzioni: la funzione allora non si interseca con l’asse x
avere una o più soluzioni: ogni soluzione corrisponde ad un punto di intersezione
avere infinite soluzioni

In alternativa, per studiare l’intersezione con l’asse delle y, basta osservare che se il punto 0 fa parte del dominio della funzione, allora, per definizione di funzione, l’unico punto di intersezione è (0, f(0)); altrimenti la funzione non ha intersezioni con l’asse y.

Valori agli estremi del campo di esistenza
Noto il campo di esistenza, occorre effettuare il calcolo di alcuni limiti, per studiare il comportamento della funzione alla frontiera del dominio. E’ possibile distinguere diversi casi:

se il dominio di definizione della funzione è tutto R, si possono studiare i due limiti e
se il dominio è limitato inferiormente si può studiare il limite
se il dominio è limitato superiormente si può studiare il limite
se il dominio esclude un punto c, allora è possibile studiare i limiti destro e sinistro a c; in alcuni casi potrebbe essere possibile studiare uno solo dei limiti.

Positività e negatività
Si tratta di vedere per quali valori di x la funzione è positiva (sta al di sopra dell’asse x) o negativa (sta al di sotto dell’asse x). Ad esempio la funzione y = x + 3 è positiva per x maggiori di -3 e negativa per x minori di -3.
Lo studio del segno aiuta ad escludere alcune porzioni di piano.

Determinazione degli asintoti
Esistono tre possibili tipi di asintoto:

asintoto verticale: si ha quando all’avvicinarsi di x ad un valore finito c, y si sposta verso ∞ o -∞. Ad esempio, la funzione

presenta un asintoto verticale.

rappresentato dalla retta x = 1.
Per verificare l’esistenza di un asintoto verticale in x = c, occorre verificare che .
Se ciò è verificato, la funzione f(x) presenta un asintoto verticale x = c.
asintoto orizzontale: si ha quando al crescere di x, y si sposta verso un valore ben determinato.
Ad esempio, la funzione

presenta un asintoto orizzontale

rappresentato dalla retta y = 1.
Per verificare l’esistenza di un asintoto orizzontale in y = c, occorre verificare
Se ciò è verificato, la funzione f(x) presenta un asintoto orizzontale y = c.
Noto l’asintoto orizzontale è possibile sapere se la funzione si trova sopra o sotto l’asintoto: basta sostituire a c un numero più piccolo o più grande e vedere se l’orizzontale relativa taglia o meno la funzione.
asintoto obliquo: è rappresentato da una retta obliqua nella forma y = mx + q. Non sempre esiste l’asintoto obliquo; per esistere si devono verificare, in ordine, tre condizioni:
     1) la funzione deve tendere all’infinito
     2) deve esistere il coefficiente angolare m
     3) deve esistere q
Per poter essere soddisfatta la 1) deve essere verificato che ; per poter essere soddisfatta la 2) deve esistere ed essere finito il e tale limite è proprio il valore di m. Per poter essere soddisfatta la 3) deve esistere ed essere finito il e tale limite è proprio il valore di q.

Non è detto che una funzione debba necessariamente avere asintoti; le funzioni seno e coseno non hanno asintoti mentre le funzioni definite sull’insieme dei reali non ammettono asintoti verticali. In genere una funzione può avere da 0 a infiniti asintoti verticali, da 0 a 2 asintoti verticali e/o da 0 a 2 asintoti obliqui. Gli asintoti obliqui e quelli orizzontali sono mutuamente esclusivi.
Se la funzione è una funzione fratta è possibile individuare gli asintoti in maniera istantanea, distinguendo tre diversi casi:

se l’ordine del numeratore è uguale all’ordine del denominatore è presente sicuramente un asintoto orizzontale pari al rapporto fra i due termini di grado più alto.
Ad esempio la funzione

ha un asintoto orizzontale in 1/2.
se l’ordine del numeratore è inferiore all’ordine del denominatore è presente sicuramente un asintoto orizzontale di valore nullo.
Ad esempio la funzione

ha un asintoto orizzontale in 0.
se l’ordine del numeratore è superiore all’ordine del denominatore è presente sicuramente un asintoto obliquo.
Ad esempio la funzione

ha un asintoto obliquo.

Crescenza e decrescenza
Una funzione si dice crescente in un intervallo [a, b] se per tutti i punti interni a tale intervallo, presi due punti qualsiasi x₁ e x₂, con x₁ < x₂ allora f(x₁) < f(x₂).

Una funzione si dice decrescente in un intervallo [a, b] se per tutti i punti interni a tale intervallo, presi due punti qualsiasi x₁ e x₂, con x₁ < x₂ allora f(x₁) > f(x₂).

Per poter determinare la crescenza o descrescenza di una funzione occorre prima di tutto calcolare la derivata prima della funzione. Occorre poi studiare gli intervalli o i punti in cui la derivata è maggiore di 0, minore di 0 o uguale a 0. Dato y = f(x)

laddove f(x) è derivabile e f’(x) > 0 allora y è crescente
laddove f(x) è derivabile e f’(x) < 0 allora y è decrescente
laddove f(x) è derivabile e f’(x) = 0 allora y ha nel punto x un punto di minimo o di massimo relativo oppure un flesso a tangenza orizzontale.

Determinazione dei massimi/minimi e dei flessi
Un punto x₀ è punto di massimo relativo all’interno di un intervallo [a, b] se per ogni valore di x interno a tale intervallo avviene che f(x₀) ≥ f(x).
Un punto x₀ è punto di minimo relativo all’interno di un intervallo [a, b] se per ogni valore di x interno a tale intervallo avviene che f(x₀) ≤ f(x).

Esistono due approcci per lo studio dei punti di massimo/minimo e i punti di flesso; entrambe le motodologie comunque richiedono prima di individuare i punti in cui la derivata prima si annulla, che sono i cosiddetti punti candidati.
Il primo approccio, da usare per quelle funzioni che hanno derivata semplice, fa uso ancora della derivata prima: individuato il punto candidato x₀, si studia il segno della derivata prima per vedere dove la funzione è crescente e dove è decrescente. Si possono verificare tre casi:

la funzione è crescente a sinistra di x₀ e decrescnete a destra di x₀: x₀ è punto di massimo relativo
la funzione è decrescente a sinistra di x₀ e crescente a destra di x₀: x₀ è un punto di minimo relativo
la funzione è crescente sia a sinistra che a destra di x₀ o la funzione è decrescente sia a sinistra che a destra di x₀: x₀ è un flesso

Ad esempio la funzione x³ ha derivata prima 3x² che si annulla in 0. dunque il punto x₀ = 0 è un punto candidato. Occorre però studiare se è un punto di minimo, di massimo o di flesso. Studiando il segno della derivata prima si vede che la funzione è crescente sia a sinistra che a destra di x₀, quindi sicuramente il punto x₀= 0 è un punto di flesso.

L’approccio alternativo, da usare quando la funzione ha derivate più complesse, studia il segno delle derivate in ordine crescente: partendo dalla individuazione di un punto candidato x₀ in cui la derivata prima è nulla, si studia il segno della derivata seconda in x_0, poi della derivata terza (sempre in x₀) e così via. Bisogna fermarsi quando la derivata assume in quel punto valore non nullo. Se tale derivata:

è di ordine pari ed è positiva allora x₀ è un punto di minimo
è di ordine pari ed è negativa allora x₀ è un punto di massimo
è di ordine dispari ed è positiva allora si ha un flesso ascendente
è di ordine dispari ed è negativa allora si ha un flesso discendente

Ad esempio la funzione x⁴ ha tutte le derivate prima, seconda e terza nulla nel punto 0. La prima derivata non nulla in 0 è la derivata quarta, che assume valore costante 24. Essendo l’ordine della derivata pari ed essendo 24 positivo, il punto x₀ = 0 è un punto di minimo relativo.

Determinazione della concavità e dei flessi obliqui
Una curva di questo tipo

volge la concavità verso l’alto; una curva di questo tipo

volge la concavità verso il basso.
Per studiare la concavità di una curva occorre studiare il segno della derivata seconda: laddove la derivata seconda è maggiore di 0 la curva volge la concavità verso l’alto mentre laddove la derivata seconda è minore di 0 la curva volge la concavità verso il basso. Laddove la curva passa da una concavità all’altra potrebbe esserci un flesso obliquo.

Graficazione
La graficazione non deve avvenire necessariamente alla fine dello studio. Mentre si eseguono i vari step è possibile tracciare “appunti” su andamenti caratteristici della funzione in esame. Ad esempio nella fase di studio del segno della funzione è possibile escludere tramite tratteggio le parti del piano in cui sicuramente la funzione non è definita.

Una utile risorsa (gratuita) di rete
MAFA Plotter (http://www.mathe-fa.de/it) è una applicazione web (da non installare) molto intuitiva per tracciare grafici di funzioni matematiche e tabularne i valori. Può essere usato come strumento di verifica del grafico dopo lo studio.

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